Lineare Modelle und Konstrukte I |
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15.02.2017 |
[58] auch unter σ²(y2) – σ²(y1) = σ²(η2) – σ²(η1) (55) und σ²(x) analog
[59] und ß = sign σxy [( σ²(y2) – σ²(y1)]1/2 / [(σ²(x2) – σ²(x1)]1/2
Simuliert unter 4 Reihen Zufallszahlen von Umfängen je 3000 auf 3 Stellen genau
Das lineare Abweichungs-Konstrukt
[60] ß = ADy / ADx = signσxy σy / σx ≠ ß ,
[60a] jedoch ß = ADη / ADξ = signσηξ ση / σξ (14)
[61] Beweis ADv = ( 2/π)1/2 σv | normalverteilt, FISCHER
Mit instrumenteller Variable v = ω + ς , ( dezentriert V = Wω + ς )
[62] unter σες = σδς = σεδ = 0, ß = σyv /σxv , ß ≥ ße
[63] Beweis ß = signσyv σησω / signσxv σξσω = signσxy ση / σξ
Schätzfehler
[64] η = ß ξ , η = ßξ ±0
[65] η = ß x – ßδ ,
[66] η = ß x ± ßσδ , (räumlich), n = ß x ± ßADδ (linear) ,
[66a] σδ = (σ²x – σηx/ß)1/2 , ADδ ≤ σδ , ADδ = (2/π )1/2σδ | normalverteilt, (61)
[67] y = ß ξ + ε , [67a] η = ßξ ± 0 ,
[67b] y = ß ξ ± σε , (räumlich), y = ßξ ± ADε, (linear) , σε = ( σ²y - ßσyξ )1/2,
[68] y = ß x + ε – ßδ , [69] η = ß x ± ßσδ , (räumlich), n = ß x ± ßADδ (linear)
(66a), σδ = (σ²x – σηx/ß)1/2
[70] y = ß x ± σe, (räumlich) ; y = ß x ± ADe , (linear) (66a),
σe =[σ²y - ßσxy + ß²(σ²x – σxy/ß)]1/2= (σ²y – 2ßσxy +ß²σ²x)1/2
Variablen-Multiplikation (ableitungsfrei)
[71] µ(y = ß x + ε – ßδ | *x); σxε =0, σxδ = σ(ξ+δ)δ = σ²δ
[71a] µ(xy = ß x² + εx – ßδx) , [71b] σxy = ßσ²x - ßσδ + 0 --> ß = σxy / (σ²x - σ²δ)
[72] µ(y = ß x + ε – ßδ | *y); σδy = 0 σεy = σ²ε , analog --> ß = (σ²y – σ²ε) / σxy
Quadrierung (ableitungsfrei)
[73] η = ß ξ ; n:= y-ε , ξ:=x-δ , σxy = σ[(x+ξ)(y+ε)] = σξη
[74] µ(η-ßξ)² = σ²η – 2ßσxy + ß²σ²ξ = 0² ; [75] ßσxy = σ²η , (σ²η – ßσxy|=α²η) = o
[76] ßσxy + ß²σ²ξ = 0 |:ß --> ß = σxy /( σ²ξ |:= σ²x-σ²δ)
alternativ
[77] µ(y–ß x)² = µ(ε-ßδ)² , --> σ²y - 2ßσxy + ß²σ²x = σ²ε + ß²σ²δ ; σ²y – ßσxy = σ²ε
[78] ßσxy + ß²σ²x = ß²σδ | :ß --> ß = σxy / σ²x-σ²δ
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